Art. 10 – Vol. 21 – Nr. 2 – 2011

Antinomia mincinosului

Paul Sfetcu
psfetcu@yahoo.com
Institutul Naţional de Cercetare – Dezvoltare în Informatică – ICI, Bucureşti

Rezumat: În acest articol prezentăm cel mai vechi şi mai dificil paradox apărut încă din Antichitatea greacă, prezentând şi soluţia dată de Anton Dumitriu, bazată pe principiile logicii clasice, pe regulile definiţiei şi pe sistemul formal din Principia mathematica, construit de B. Russell şi A. Whitehead.

Cuvinte cheie: principiile logice, tautologie, negaţie

Introducere: Acest paradox, care este cel mai vechi paradox cunoscut, a creat mari dificultăţi încă din Antichitate. El a stat şi în atenţia logicienilor din Evul Mediu care, cu meticulozitatea lor scolastică, i-au dat soluţii subtile. Momentul în care a apărut necesitatea fundamentării matematicilor prin formalizare şi axiomatizare coincide cu primele încercări de a-i da o soluţie formală.

Antinomia mincinosului se pare că a fost construită de megaricul Eyboulides. Diogenes Laertios, în lucrarea sa Despre vieţile şi doctrinele filosofilor (VII, 180), menţionează că logicianul Chrysippos a scris cel puţin şapte tratate despre mincinos. Chiar şi Aristoteles, în De sophisticis elenchis (25), Ethica nicomachică (VII, 3) şi în Metafizica (IV, 4, şi 8) i-a consacrat o parte însemnată în studiile sale logice; Ciceron îl citează în Libri academici (II, 29); Seneca (Epistolae ad Lucilium, 45) menţionează că “multe cărţi au fost scrise despre el”; Aulus Gellius tratează acest subiect pe larg în Noctes atticae (XVIII, 2); Ploutarchos îl menţionează în lucrarea sa Contradicţiile stoicilor (2 şi 24). Scolasticii (în special Buridan, Albertus de Saxonia, Petrus de Allyaco, Paulus Nicolettus Venetus ş.a) au scris numeroase lucrări asupra acestei probleme, într-un capitol important din logică, purtând titlul Insolubilia, în care paradoxul “mincinosul” era formulat în diverse variante (pentru dezvoltări, a se vedea lucrarea lui Anton Dumitriu Istoria logicii, ca şi numeroasele sale articole scrise pe această temă).

Întâlnind în teoria sa logico-matematică privitoare la fundamentele matematice unele contradicţii sau paradoxe, Bertrand Russell a recunoscut că acestea sunt toate de acelaşi tip cu antinomia mincinosului. În lucrarea sa Principia mathematica (primul vol. 1910, scris împreună cu A. N. Whitehead), el a schiţat o soluţie formalistă pentru paradoxe – având la bază pe teoria tipurilor – dar propunând numai soluţii restrictive, convenţionale pentru ca paradoxele să nu mai poată apărea. Numeroşi sunt cei care au avut contribuţii în această problemă, dar eforturile lor nu au depăşit soluţia lui Russell, ci numai au încercat să o perfecţioneze. Aşa sunt studiile lui R. Carnap (Logische Syntax der Sprache, Springer, Viena, 1934), A. Tarski (Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (“Studia Philosophica”, Leopoli, 1933) ş.a.

Referitor la literatura asupra acestei probleme, avem cartea The Paradox of the Liar, editată de Robert L. Martin (Yale University Press, New Haven and London, 1970), precum şi un articol al lui John F. Post Shades of the Liar (“Journal of Philosophical Logic”, 2, 1973).

Vizualizează articolul complet

Concluzii: Am demonstrat teorema Tω în cadrul logic din Principia mathematica. Dar este uşor de văzut că această formulă este validă în orice sistem propoziţional, (care admite următoarele idei:

(1) Variabile propoziţionale p, q, r, … care pot lua două valori, adevărul (A) sau falsul (F).

(2) Definiţia, desemnată prin semnul „=” care poate fi şi semnul de identitate; nondefiniţia sau nonidentitatea, desemnată prin semnul „≠”.

(3) Negaţia.

(4) Echivalenţa p ≡ q.

(5) Implicaţia pq.

Orice sistem care admite aceste cinci idei admite de asemenea formula Tω, care are întotdeauna valoarea A (este o tautologie) în sistem.

Tω |– p ≡ ~qq ≠ p.

(semnul lui Frege |– este semnul de aserţiune, deci nu este un semn logic, ca şi semnele de punctuaţie). Formula Tω exclude antinomia mincinosului.

În final, trebuie să scoatem în evidenţă un aspect care a scăpat din vederile celor care au căutat să dea o soluţie formală acestui paradox (şi în general tuturor paradoxelor).

Prin enunţ se vede că: dacă o propoziţie este adevărată, ea este falsă; dacă este falsă, ea este adevărată. De aici se vede că propoziţia este şi adevărată, şi falsă în acelaşi timp, ceea ce este o contradicţie în termeni.

În Principia mathematica avem:

p · q . = . ~(~pq)

Să facem q = ~p. Vom obţine:

p · ~p . = . ~(p~p)

Să negăm acum relaţia:

~ (p · ~p) . = . p~p.

Am obţinut, la nivel formal, identitatea dintre principiul contradicţiei (este fals că o propoziţie poate fi adevărată şi falsă în acelaşi timp) şi principiul terţiului exclus (o propoziţie este sau adevărată, sau falsă, a treia posibilitate nu există).

Dar cei care s-au ocupat de această problemă au concluzionat în mod imprudent că paradoxele, nefiind nici adevărate, nici false, scapă principiului terţiului exclus şi au introdus o a treia valoare de adevăr pentru propoziţii. Dar din faptul că o propoziţie este şi adevărată, şi falsă în acelaşi timp conduce la distrugerea ei. Acest lucru a fost afirmat încă din Antichitate, când stoicii au formulat această propoziţie logică, care în zilele noastre a fost pusă în haină formală astfel:

p ~p .. ~p

Nici intuiţioniştii, care contestă principiul terţiului exclus în domeniul infinitului, nu au luat în considerare acest lucru evident.

Dar realitatea fenomenală, ca şi realitatea logică, este guvernată de principii, care nu sunt contingente, adică nu se supun conjuncturii materiale. Iar Aristoteles a afirmat pregnant acest lucru, spunând că “toate principiile se reduc la principiul contradicţiei, care este cel mai puternic dintre toate”.

BIBLIOGRAFIE:

ALBERTUS DE SAXONIA, Perutilis logica (Veneţia, 1522).
ARISTOTELES, De sophisticis elenchis; Ethica nicomachică;
AULUS GELLIUS, Noctes atticae.
BURIDAN, Summulae (Veneţia, 1499).
CARNAP, R., Logische Syntax der Sprache. Springer (Viena, 1934).
CICERON, Libri academici.
DIOGENES LAERTIOS, Despre vieţile şi doctrinele filosofilor (trad. de Aram Frenkian, 1964).
DUMITRIU, A., Soluţia paradoxelor logico-matematice (Bucureşti, 1966); Mecanismul logic al matematicilor (Ed. Academiei Române, 1968); Istoria logicii, Ed. tehnică (Bucureşti, vol. IV, 1998); Paradoxele în Evul Mediu (Revue roumaine des sciences sociales, s. de philosophie et de logique, 3, 1965); Problema paradoxelor logico-matematice (Scientia, Milano, 1968); Wittgenstein şi soluţia paradoxelor (Journal of the History of Philosophy, 2, Washington-San Diego, 1974); Soluţiile contemporane şi scolastice ale antinomiilor logico-matematice (International Philosophical Quarterly, 2, New York, 1974).
GONSETH F., Les fondements des mtathématiques (Edition Blanchard, Paris, 1926).
MARTIN, ROBERT L., The Paradox of the Liar. Yale University Press, New Haven and London, 1970.
PETRUS DE ALLYACO, Insolubilia (Paris, 1494).
POST, JOHN F., Shades of the Liar („Journal of Philosophical Logic”, 2, 1973).
PLOUTARCHOS, Contradicţiile stoicilor.
RUSSELL, B.; Whitehead. Principia mathematica (vol. I, 1910).
SENECA, Epistolae ad Lucilium.
TARSKI, A. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen („Studia Philosophica”, Leopoli, 1933).

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.