joi , 20 septembrie 2018
roen

Art. 04 – Vol. 21 – Nr. 1 – 2011

Paradoxul lui Gödel şi implicaţiile lui

Paul Sfetcu
psfetcu@yahoo.com
Institutul Naţional de Cercetare – Dezvoltare în Informatică, ICI, Bucureşti

Rezumat: În acest articol evidenţiem faptul că acest paradox este formulat fără respectarea regulilor definiţiei       şi ca atare nu implică nimic nici pentru matematici, nici pentru sistemele formale care vor să dea seama de progresul matematicilor.

Cuvinte cheie: paradox, definiţie, demonstraţie.

Introducere: Succesul ştiinţei moderne, obţinut prin mularea aparatului matematic pe lumea fenomenelor lumii materiale, a pus în discuţie fundamentele ştiinţei, deci şi ale matematicilor. Pentru aceasta, ştiinţa trebuia studiată pe cadrul logico-formal al sistemelor simbolice, care voiau să dea seama de progresul ştiinţei şi de dezvoltarea fără precedent a matematicilor (pentru oamenii de ştiinţă aceste sisteme fiind garanţia obiectivităţii supreme). Dar chiar în acest stadiu, apariţia paradoxelor logico-matematice a pus la îndoială speranţa că vom putea găsi, la nivel formal, soluţia acestei dezvoltări uimitoare a matematicilor şi implicit a ştiinţei. Gödel a fost cel care, prin paradoxul pe care l-a construit, a declanşat ceea ce s-a numit o criză a ştiinţelor, dar de fapt criza este a formalismului şi a modului în care noi percepem actul gândirii matematice.

Vizualizează articolul complet

Concluzii: În final, vom face câteva consideraţii asupra acestei probleme şi vom insista şi asupra unui alt aspect al acestei probleme, care ne va explica într-un mod mai complet mecanismul acestui paradox.

Am găsit relaţia ψ ≠ K. Aceasta înseamnă: clasa K nu poate fi identică cu nici o valoare a simbolului ψ (variabil), definiţia sa nu poate fi decisă şi nici nu poate fi identică cu o clasă şi deci expresia  (p  ψ) nu este definisantă pentru clasa K (expresie care nu este formată decât cu clasa ψ, unul din membrii săi p, şi ideea că putem demonstra că un element p aparţine sau nu clasei ψ).

Să examinăm mai de aproape modul de formare a acestor feluri de clase. Sunt alese într-un mod arbitrar două clase şi se caută să se vadă dacă ele au sau nu o relaţie. Dar aceste feluri de relaţii, cu toate că pot fi constatate într-un mod legitim, există prin accident.

Într-adevăr, să considerăm cadrul în care apare paradoxul izomorf-heteromorf.

P1,  P2, P3, … , Pn.

a1,  a2, a3, … , an.

Dacă într-o ordine oarecare un predicat din primul şir are proprietatea indicată de predicatul de acelaşi rang din cel de-al doilea şir, el este izomorf; dacă nu, el este heteromorf. Un predicat are sau nu are proprietatea exprimată de predicatul corespunzător lui din seria paralelă, tertium non datur.

Proprietatea numărului a3, de exemplu, de a fi izomorf sau heteromorf în raport cu numerotarea noastră relativă şi arbitrară nu are nimic esenţial. Aceasta se vede mai bine din faptul că într-o anumită ordine (pe care o putem alege arbitrar) acelaşi număr a3 poate fi izomorf şi într-o altă ordine heteromorf. Aceste proprietăţi pot fi legitim constatate, adică se poate constata că un număr oarecare ax are sau nu are proprietatea de acelaşi rang Px, dar această coincidenţă, consecinţă a unei ordini arbitrar stabilită, nu este decât un accident. Faptul că predicatul Px se găseşte în acelaşi rang cu numărul ax este un accident.

Logica tradiţională a cunoscut bine aceste feluri de proprietăţi. Accidentul este o proprietate care exprimă ceva care nu aparţine conotaţiei subiectului unei judecăţi şi nu poate fi dedus analitic din ideea subiectului. Dar toate tratatele de logică tradiţională interzic construirea unei definiţii prin accident. Accidentul nu este definisant şi expresiile care exprimă proprietăţi accidentale nu sunt definisante. În sistemele logico-formale se folosesc permanent astfel de expresii. Într-adevăr, logica simbolică, operând cu simboluri vide de orice conţinut, este obligată, în general, să privească relaţia de definiţie fără nicio legătură între definiens şi definiendum. Defiinţiile apar astfel ca simple abrevieri convenţionale ale expresiilor simbolice, sau, aşa cum spune Russell, ca „simple comodităţi tipografice” (typographical conveniences).

Vedem dar că aşa-zisele predicate introduse de către noi în paradoxul izomorf-heteromorf sunt predicate definite prin accident, deci deloc definite. Să subliniem încă o dată că o astfel de proprietate poate fi constatată, dar ea nu este definisantă.

Acelaşi lucru se petrece în paradoxul lui Gödel. Într-adevăr, Gödel alege o ordine arbitrară R şi în acest cadru defineşte o clasă K, bazată exclusiv pe această ordine. Dar tocmai această idee este exprimată de către condiţia găsită prin formula Tω: ψ ≠ K; clasa K nu poate fi identică cu ψ semnifică faptul că clasa K nu este definită de ψ. Această definiţie a clasei K este numită de Poincaré „definiţie nepredicativă”. Noi vrem să accentuăm ideea că astfel de definiţii nu există, fiind făcute prin accident: accidentul poate fi constatat, dar nu este definisant.

Vom insista însă aici asupra unui alt punct al problemei în raport cu definiţiile făcute prin accident. Să examinăm mai de aproape predicatele introduse de Gödel în această problemă, anume predicatele demonstrabil-nedemonstrabil. Aceste predicate sunt de asemenea definite prin accident. Într-adevăr, Gödel alege o ordine arbitrară R, în care el defineşte predicatele demonstrabil şi nedemonstrabil, adică exact în acelaşi mod în care au fost definite predicatele izomorf-heteromorf: prin accident. Acest caracter al predicatelor demonstrabil-nedemonstrabil poate fi mai bine observat într-un sistem logic formal ca Principia mathematica. O propoziţie adevărată este o tautologie în logica lui Russell, adică ea este adevărată în ea însăşi. Demonstrarea unei tautologii este accesorie şi nu este necesară pentru a stabili adevărul său, tautologia fiind adevărată în mod independent de demonstraţia sa. Cum spune Wittgenstein (Tractatus logico-philosophicus, prop. 1262, Londra, Paul Kegan, 1933), referindu-se chiar la ideea de demonstraţie: „Demonstraţia în logică este numai un mijloc auxiliar mecanic pentru a recunoaşte mai uşor tautologia acolo unde ea este complicată”. Natural, această manieră de a arăta că propoziţiile sunt tautologii este absolut neesenţială pentru logică. Tocmai prin aceea că propoziţiile de unde începe demonstraţia trebuie să arate fără demonstraţie că ele sunt tautologii. Astfel deci, predicatele demonstrabil şi nedemonstrabil nu sunt în mod esenţial legate de o propoziţie, ceea ce ar face ca simplul său enunţ să conţină, ca predicat, fie predicatul demonstrabil, fie predicatul nedemonstrabil (ca elemente esenţiale ale definiţiei sale) şi ceea ce ar face propoziţia adevărată sau falsă în ea însăşi, adică fără demonstraţie, ceea ce este contradictoriu.

Este de remarcat faptul că şi alţi logicieni s-au lovit de aceeaşi dificultate, căutând o definiţie a demonstrabilităţii în raport cu adevărul unei propoziţii. Iată ce scrie Tarski în legătură cu aceasta (Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen): „Extensiunea celor două concepte considerate (adevăr şi demonstrabilitate) nu este identică; toate propoziţiile demonstrabile sunt fără îndoială – din punctul de vedere al conţinutului lor – propoziţii adevărate, dar definiţia propoziţiei adevărate pe care noi o căutăm trebuie să cuprindă de asemenea propoziţiile care nu sunt demonstrabile”. Şi el adaugă ceva mai departe: „Trebuie să luăm în considerare aici circumstanţa că – în opoziţie cu conceptul de propoziţie adevărată –, conceptul de propoziţie demonstrabilă în aplicarea unor ştiinţe deductive posedă un caracter pur fortuit”. Vedem deci că predicatele demonstrabil-nedemonstrabil sunt legate accidental de propoziţiile din sistemul Principia matematica (sau de sistemele înrudite) şi din acest motiv se pot construi astfel de definiţii, ca aceea a lui Gödel, care conduce la un paradox, exact cum lucrurile se petrec în cadrul altor paradoxuri.

Vor formula acum concluziile noastre după cum urmează:

  1. Ordinea în care Gödel numerotează semnele sistemului este arbitrară. Deci orice expresie formată regulat în sistem, dar definită exclusiv de şirul arbitrar al numerelor atribuite simbolurilor din care ea este formată (având reflectare asupra ei însăşi) este definită prin accident.
  2. Orice proprietate a unei astfel de expresii, care ar rezulta pentru ea numai din poziţia sa relativă şi arbitrar fixată în interiorul sistemului, prin şirul de numere ale acestor simboluri, este o proprietate accidentală. De exemplu, se poate defini clasa tuturor expresiilor sistemului ale cărui şiruri de numere întregi corespunzătoare conţin fiecare numărul 33; dar o astfel de proprietate, stabilită pe baza acestei particularităţi, este o proprietate accidentală şi ea nu poate fi definisantă prin condiţiile definiţiei logicii tradiţionale.
  3. Demonstraţia unei expresii într-o teorie deductivă nu este o „proprietate” a acestei expresii; „demonstrabil” nu este un predicat care poate fi atribuit unei expresii înaintea demonstrării sale, examinând numai structura sa; dacă acest lucru ar fi posibil, atunci o propoziţie căreia îi putem atribui „predicatul” demonstrabil înaintea demonstrării sale, ar fi demonstrată fără demonstraţie, ceea ce este absurd. Dar demonstrarea unei expresii într-o teorie deductivă nu este un caracter izolat al acestei expresii. Demonstraţia nu este o proprietate, ci o operaţie. Fiind date unele reguli, se stabileşte o conexiune între o expresie şi celelalte expresii deja admise în corpul teoriei. Demonstraţia posedă astfel un caracter operaţional constructiv. Goblot a exprimat această idee de mai demult în formula: A demonstra înseamnă a construi. Şi mai înaintea lui, Kant a făcut o teorie complexă a caracterului constructiv al demonstraţiei (pentru a nu cita şi alţi logicieni care au avut aceeaşi concepţie asupra naturii demonstraţiei). Acesta este motivul pentru care predicatul „demonstrabil” nu poate fi atribuit unei expresii într-un mod izolat, ca predicat al acestei expresii, pentru că demonstraţia sa nu depinde exclusiv de expresia considerată, ci şi de toate expresiile teoriei care servesc demonstraţia sa.
  4. Expresiile al căror accident este constatat nu pot fi „decise” teoretic în sistemul în care ele sunt formate, deoarece nicio expresie nu poate fi definită exclusiv prin accident, care rămâne o constatare de fapt.
  5. Expresia construită de Gödel, formulată mai simplu („Propoziţia care are numărul k nu este decidabilă în sistemul S”) a ieşit din cadrul relativ unde ea a fost formulată şi numerotată şi este considerată în afara accidentului care a creat-o; iată de ce nu este definită. Propoziţia numerotată cu numărul k, pe care ea îl poartă prin accident, este definită numai prin acest accident k şi nimic mai mult, nu apare în ea niciun alt număr care ar determina raportul relativ şi convenţional cu celelalte propoziţii din sistemul S; deci propoziţia notată prin numărul k, fiind definită prin accident, nu este deloc definită şi nu pune nimic ca existent.

Pentru a ajunge la această concluzie, credem că nu era nevoie de demonstraţia utilizată în teoremele de limitare. Credem că era suficient să ţinem cont de condiţiile definiţiei şi să considerăm că prin accident nu se poate defini nimic.

Concluzia lui Gödel, enunţată mai prudent, ar suna astfel: într-o ordine relativă şi arbitrară R  există o propoziţie Pk dintr-o clasă de propoziţii necontradictorii, care nu este decidabilă.

Vom încheia această prezentare cu constatarea pe care o face Ludwig Wittgenstein în lucrarea sa Tractatus logico-philosophicus: „Şi nu este de mirare că cele mai multe probleme sunt de fapt false probleme”.

BIBLIOGRAFIE:

  1. ARISTOTELES. Organon, trad. franc., J. Tricot, Ed. J. Vrin, Paris, 1941.
  2. BRUNSCHWICG, L. Les étapes de la philosophie mathématique, Alcan, Paris, 1929.
  3. CARNAP, R. Logische Syntax der Sprache, Springer, Viena, 1934;
  4. CARNAP, R. Die Antinomien und die Unvollständigheit der Mathematik, în „Monatshefte für Mathematik und Physik”, 1934.
  5. DUMITRIU, A. Soluţia paradoxelor logico-matematice, Ed. ştiinţifică, 1966.
  6. DUMITRIU, A. Limitele sistemelor formale, în lucrarea „Eseuri”, 1987.
  7. FRAENKEL A.; J. BAR-HILLEL. Foundations of Set Theory, North-Holland Publishing Company, 1958.
  8. GÖDEL, K. Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und werwandter Systeme I, în „Monatshefte f. Math. und Physik”, 1931.
  9. LADRIÈRE, J. Les limitations internes des formalismes, Paris, 1938.
  10. MOSTOWSKI, A. The Present State of Investigations on the Foundations of Mathematics, Varşovia, 1955.
  11. MOSTOWSKI, A. A Stumbling Block in Constructive Mathematics, în „Journal of Symbolic Logic”, vol. 18, 1935.
  12. RUSSELL, B.; WHITEHEAD, A. Principia mathematica, Cambridge University Press, vol. I, 1910; vol. II, 1912; vol. III, 1913.
  13. TARSKI, A. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, în „Studia Philosophica”, Leopoli, 1935.
  14. MOSTOWSKI, A. A Stumbling Block in Constructive Mathematics, în „Journal of Symbolic Logic”, vol. 18, 1935.
  15. WITTGENSTEIN, L. Tractatus logico-philosophicus, Ed. Paul Kegan, Londra, 1922.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.