Revista Română de Informatică și Automatică – ICI București
SOLUŢIA PARADOXELOR LOGICO-MATEMATICE
PRIN RESPECTAREA CONDIŢIILOR DEFINIŢIEI
Paul Sfetcu
psfetcu@yahoo.com
Institutul Național de Cercetare – Dezvoltare în Informatică, ICI București
Rezumat: În această lucrare se prezintă eroarea comisă în momentul definirii paradoxelor şi anume crearea unor enunţuri vicioase din cauza nerespectării regulilor logicii clasice.
Cuvinte cheie: Definiţie idem per idem, definiţie contradictorie, principiul cercului vicios.
Introducere
În articolul anterior, am observat că paradoxele apar în momentul în care afirmăm anumite propoziţii prin care vrem să definim un predicat oarecare P printr-un alt predicat ψ. Utilizând numai aparatul logico-matematic din Principia mathematica al lui Russell şi Whitehead, am obţinut o implicaţie, notată Tω, prin care, fie la nivel de predicate, fie la nivel de clase, excludem dintre valorile lui P tocmai pe ψ, pentru a nu degenera într-o definiţie idem per idem (când enunţul este pozitiv), sau într-o definiţie contradictorie (când enunţul este negativ). Vom ajunge la acelaşi rezultat, utilizând de data aceasta numai regulile logicii clasice.
În consecinţă, elementele care lipseau din sistemul Principia mathematica sau din celelalte sisteme înrudite sunt tautologiile D1 şi D2 care exprimă două condiţii ale definiţiei şi care pot fi scrise, într-un mod mai general, astfel:
(D1) |– : x R φ =Df x R ψψ ≠ φ
(D2) |– : x R φ =Df ~x R ψψ ≠ φ.
Aceste formule spun: pentru ca expresiile: x R ψ sau ~ x R ψ să fie definisante trebuie ca simbolul ψ să fie non-identic cu φ. Mai este necesar să remarcăm că, pentru ca aceste expresii să fie definisante, trebuie ca simbolul ψ să nu presupună simbolul φ nici măcar într-un mod indirect, pentru că în acest caz am obţine o definiţie idem per idem de speţa a doua, diallela. Cu alte cuvinte, simbolul ψ nu poate fi definit nici el cu simboluri care servesc la definiţia simbolului φ.
Pentru Russell, problema s-a redus la examinarea expresiilor de forma αα şi αα sau ~φ(φ) şi φ(φ), pe care el le-a declarat lipsite de sens, ceea ce l-a condus la teoria tipurilor. Pentru noi, clasa claselor care se conţine ca element
G =Df(αα)
sau clasa claselor care nu se conţin ca element,
Γ =Df(~αα)
şi, în mod general, clasele definite în acest fel,
G =Df(α R α)
Γ =Df(~α R α)
nu sunt definite, deoarece expresiile din dreapta ale acestor definiţii nu sunt termeni definisanţi, fiind formate dintr-o clasă şi din relaţia acesteia cu ea însăşi care decurge din propria sa definiţie. Russell a crezut că expresii ca αα şi ~αα nu sunt definite şi nu reprezintă nimic. Dar este evident că propoziţia «predicatul mamifer nu este el însuşi un mamifer» are un sens precis sau, în termeni de clasă, «clasa mamifer, nefiind un mamifer, nu se conţine ca element»; sensul lor nu poate fi negat dar, pentru că sunt formate exclusiv cu definiţia predicatului mamifer sau a clasei mamifer, aceste propoziţii nu pot fi definisante pentru nici un alt predicat sau nici o altă clasă, ca şi, în general, expresiile de tipul ψ R ψ sau ~ψ R ψ.
BIBLIOGRAFIE
- Aristoteles : Organon, traducere în limba română, v I: Categoriile, Despre interpretare. Traducere, studii introductive, introduceri şi note de Mircea Florian, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1957; vol. II: Analiticile prime, traducere şi studiu introductiv de Mircea Florian, Editura Ştiinţifică, Bucureşti. 1958; (reeditate la IRI, 1997), vol. III: Analiticile secunde, traducere, studiu introductiv şi note de Mircea Florian, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1961; vol. IV: Topica, Respingerile sofistice, traducere, studiu introductiv şi note la «Topica», traducere şi note la «Despre respingerile sofistice» de Mircea Florian, notiţă introductivă la «Despre respingerile sofistice» de Dan Bădărău, Editura Știinţifică, Bucureşti, 1963.
- Dubislav, W.: Die Definition, Junker, Berlin, 1933.
- Dumitriu, A.: Soluţia paradoxelor logico-matematice, Ed. Academiei Române, 1966.
- Dumitriu, A. : Eseuri, Ed. Eminescu, 1986.
- Russell, B.; Whitehead, A.: Principia mathematica, Cambridge University Press; prima ediţie, I, 1910, vol. II, 1912, vol. III, 1913; ediţia a 2-a vol. I, 1925, vol. II şi III, 1927.
- Dubislav, W.: Die Definition, Junker, Berlin, 1933.
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.