Art. 06 – Vol. 24 – Nr. 2 – 2014

SOLUŢIA PARADOXELOR LOGICO-MATEMATICE PRIN FORMULA TΩ

Institutul Naţional de Cercetare-Dezvoltare în Informatică – ICI Bucureşti

Rezumat: Articolul prezintă soluţia paradoxelor apărute în logica matematică cu respectarea principiilor logice. Se accentuează faptul că aceasta reprezintă o soluţie logică şi nu o convenţie care poate inhiba apariţia paradoxelor.

Cuvinte cheie: Principii logice, implicaţia lui Russell, echivalenţă.

Introducere

Succesul ştiinţelor cu baza empirică şi matematizate a generat o serie de cercetări pentru găsirea fundamentelor matematicii. Dar, în fundamentarea ştiinţei, matematicienii s-au lovit, începând de la jumătatea secolului al XIX-lea şi până în deceniul al treilea al secolului al XX-lea, de unele paradoxe apărute chiar în interiorul matematicilor.

Apariţia acestor antinomii în domeniul celor mai exacte şi mai riguroase ştiinţe, matematicile, a zguduit atât fundamentul acestor ştiinţe, cât şi al logicii, şi a creat o criză într-o problemă foarte importantă a timpului nostru: problema fundamentelor matematicilor.

Ceea ce apare şi mai grav decât descoperirea acestor antinomii este poziţia luată de matematicieni şi de logicieni în această problemă şi care constă, în general, din a accepta o convenţie mai mult sau mai puţin artificială, în baza căreia paradoxele pot fi evitate, nu soluţionate: aşa-zisele soluţii oferite până acum, inclusiv cea mai interesantă – teoria tipurilor –, datorată lui Bertrand Russell, sunt toate convenţionale, constând din principii sau axiome restrictive ataşate arbitrar logicii clasice şi care nu permit construirea unor expresii susceptibile să degenereze în contradicţii. Cu aceasta însă, instrumentul logic îşi pierde caracterul şi sensul lui tradiţional, fiind grevat de aceste convenţii, devenind el însuşi o convenţie. Faţă de poziţia adoptată în problema antinomiilor, consecinţa aceasta era absolut fatală şi ea poate fi descifrată în toate soluţiile încercate de logicienii contemporani, deşi nu a fost afirmată totdeauna explicit în modul acesta. In der Logik gibt es keine Moral, va scrie Carnap, formulând «principiul toleranţei», şi fiecare poate să îşi construiască logica sa cum vrea… O asemenea concepţie reduce logica la un cadru simbolic, creat arbitrar, lipsit de un sens intrinsec, adică la foarte puţin, dacă nu chiar la nimic. Singurul caracter logic pe care îl mai are acest schematism simbolic este acela că nu este contradictoriu, dar necontradicţia lui este construită în mod convenţional, deci în ea însăşi nu are nici o valoare. Acceptarea antinomiilor logico-matematice ca fiind veritabile sau evitarea lor prin convenţii de principiu ruinează în mod esenţial ideea de logică şi o privează de orice semnificaţie epistemologică. În orice caz, speranţa de a găsi bazele logice ale matematicilor este, în condiţiile acestea, pierdută.

Vizualizează articolul complet

Concluzii

Rezultatele precedente au arătat, de asemenea, în mod explicit, cauza care a împiedicat până acum găsirea soluţiei paradoxelor, fapt care se poate rezuma în cele două observaţii care urmează:

S-a căutat rezolvarea principalelor paradoxe pe o cale străină de contradicţia reală care s-a strecurat în definiţia iniţială a problemei, în speţă pe calea principiului terţiului exclus, în loc de aceea a principiului contradicţiei. Din faptul că o propoziţie este echivalentă cu contradictoria sa, s-a tras concluzia că ea nu poate fi nici adevărată, nici falsă, deci ea scapă principiului terţiului exclus. Aceasta este prima greşeală.
Ocupându-se în mod special de problema expresiilor de forma φ(φ) şi ~φ(φ) sau în extensiune αα şi ~(αα), care apar în paradoxele teoriei mulţimilor, logicienii – şi printre ei, în primul rând, Russell –, nu au sesizat cele două roluri distincte ale aceluiaşi simbol φ (sau α), ca argument şi ca predicat. Eroarea a devenit atât de subtilă încât nu i s-a mai putut stabili locul. Nu puteam înţelege de ce argumentul ψ este în relaţie cu simbolul φ în definiţia φ(ψ) = ~ψ(ψ), în speţă, în relaţia φ ≠ ψ, din moment ce argumentul ψ nu apare direct în această relaţie cu φ, ci ψ ca predicat. Nu valoarea ψ = φ a argumentului provoacă paradoxul, ci valoarea ψ = φ a predicatului variabil ψ ca funcţie. Acest lucru a apărut clar în definiţiile generale de forma φ(x) =Df ~ψ(x) care stau la baza paradoxelor construite de noi şi, în fond, la baza tuturor paradoxelor.

Dacă s-ar fi ţinut seama de gândirea lui Wittgenstein în această problemă, care a văzut cu toată claritatea care sunt motivele ce provoacă aceste contradicţii, se poate presupune că încă de mult s-ar fi dat soluţia lor. Iată ce scrie el în privinţa întrebuinţării aceluiaşi simbol pentru două lucruri deosebite [1]: «În limbajul curent se întâmplă des ca acelaşi cuvânt să semnifice în două moduri deosebite – şi deci aparţine unor simboluri diferite – sau ca două cuvinte, care au semnificaţii diferite, sunt aparent întrebuinţate în acelaşi mod în propoziţie» (3.323). «Astfel se nasc uşor cele mai fundamentale confuzii (de care este plină întreaga filosofie)» (3.324). «Pentru a evita aceste erori, trebuie să întrebuinţăm un simbolism care să le excludă, neîntrebuinţând acelaşi semn în simboluri diferite şi neîntrebuinţând semne în acelaşi mod când semnifică în moduri deosebite. Un simbolism, prin urmare, care ascultă de regulile gramaticii logice – ale sintaxei logice. (Simbolismul logic al lui Frege şi Russell este un asemenea limbaj, care nu exclude totuşi toate erorile.)» (3.325).

Este astfel evident, motivul pentru care expresii de forma φ(φ) sau ~φ(φ) etc. nu sunt corecte, conform celor spuse de Wittgenstein, fiindcă acelaşi semn φ este întrebuinţat cu două semnificaţii deosebite: o dată ca argument şi o dată ca predicat al argumentului.

BIBLIOGRAFIE

ARISTOTELES: Organon
DUMITRIU, A.: Soluţia paradoxelor logico-matematice. Ed. Academiei Române, 1966.
DUMITRIU, A.: Eseuri. Ed. Eminescu, 1986.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.