vineri , 19 octombrie 2018
roen

Art. 03 – Vol. 23 – Nr. 4 – 2013

Definiţii şi teoreme

Paul SFETCU
psfetcu@yahoo.com

Institutul Naţional de Cercetare – Dezvoltare în Informatică, ICI, Bucureşti

Rezumat: În acest articol facem o trecere în revistă a faptelor care au dus la criza matematicilor şi apoi la căutarea fundamentelor acestora, prin care se asigură fundamentele ştiinţelor. Se evidenţiază faptul că definiţia nu este unică şi că ea este nervul motor al matematicii, se face printr-o funcţie propoziţională, care lasă creaţiei intelectuale toată libertatea de mişcare.

Cuvinte-cheie:definiţie, funcţie propoziţională, metamatematică, demonstraţie.

Introducere: «Aproape că nu există doi matematicieni ale căror idei cu privire la fundamentele ştiinţei lor să fie complet de acord», aşa caracterizează Arend Heyting (Mathematische Grundlagenforschungen. Intuitionismus, Beweistheorie, Springer, Berlin, 1934) divergenţa dintre poziţiile din filosofia matematicilor. Şi această afirmaţie este corectă. În mod paradoxal, cercetarea fundamentelor logice ale matematicilor, în loc să asigure bazele lor, le-a slăbit şi a transformat adevărurile lor în convenţii arbitrare. Pe de altă parte, matematicile există în toată strălucirea lor, s-au dezvoltat şi continuă să se dezvolte dincolo de ce se spune despre ele, fără să dea atenţie la ceea ce Hilbert numeşte «metamatematica».

Toate eforturile de a fundamenta, fie prin logică, fie prin filosofie, natura şi bazele matematicilor, s-au lovit de dificultăţi de netrecut şi au creat probleme dificile, ba chiar insolubile. Exemple sunt paradoxele logico-matematice, problema indecidabilităţii (Unentscheidbarkeit) descoperită de Kurt Gödel, problema necontradicţiei unei teorii etc. Aceste fapte au adus matematicile într-o stare de criză, ceea ce a fost recunoscut deschis de către specialişti.

Pentru a preciza lucrurile, vom spune că, de fapt, nu este vorba de o criză a matematicilor, ci despre o criză a metamatematicii. Problemele paradoxale nu se nasc din dezvoltarea corpului de adevăruri matematice, ci numai din faptul că vorbim despre aceste adevăruri.

Unii autori cred că pot găsi şi alte «crize» în istoria matematicilor. De exemplu, A. Fraenkel şi J. Bar-Hillel insistă asupra ideii că secolul al XX-lea nu este prima perioadă în care matematicile au suferit o «criză a fundamentelor». Pentru ei, trei mari crize au zguduit matematicile în cursul istoriei.

  1. În secolul al V-lea a. Chr., în timpul în care geometria se dezvoltă ca o ştiinţă deductivă în mod riguros, au apărut două descoperiri paradoxale: (a) prima constată că două entităţi geometrice de aceeaşi natură nu sunt comensurabile (de exemplu, diagonala pătratului nu poate fi măsurată cu o parte alicotă a laturii lui); (b) cealaltă descoperire este aceea a şcolii eleate, discipolii acestei şcoli – şi în special Zenon –, au construit o serie de paradoxe pentru a demonstra teza nonconstructibilităţii mărimilor finite cu părţi infinit de mici. Această criză a provocat noi cercetări, şi matematicienii greci au obţinut ca rezultate două descoperiri excepţionale: Teoria proporţiilor, aşa cum apare în cărţile 5 şi 10 ale Elementelor lui Eykleides; Metoda exhaustivă, inventată de Archimedes, care nu este astfel decât precursoarea riguroasă a teoriilor moderne de integrare.
  2. Invenţia calculului infinitezimal în secolele al XVII-lea şi al XVIII-lea a condus la o nouă criză, care s-a definit într-un mod precis la începutul secolului al XIX-lea. Matematicienii au acceptat calculul diferenţial şi cel integral aşa cum fuseseră edificate de autorii lui direcţi, Leibniz şi Newton, fără prea multe precauţii logice, bazându-se mai ales pe intuiţie. Utilizarea mărimilor variabile infinitesimale necesita o teorie riguroasă a limitelor, care nu exista. Această teorie a fost elaborată de Cauchy, după care Weierstrass, a arătat că se poate «aritmetiza» analiza, iar apoi H. Poincaré a crezut că, în sfârşit, s-a ajuns în matematici la «o rigoare absolută».
  3. A treia criză a matematicilor s-a datorit teoriei mulţimilor, care a condus la contradicţii şi a pus în discuţie însăşi noţiunea de mulţime şi, în consecinţă, pe aceea de număr (care e definită cu ajutorul noţiunii de mulţime).

Tentativele de a depăşi această ultimă criză sunt multiple. Vom atrage atenţia numai asupra faptului că cele trei crize menţionate sunt de natură diferită: în timp ce primele două au în centrul lor descoperiri matematice surprinzătoare, care au frapat spiritul contemporanilor prin caracterul lor insolit, ultima criză are un caracter particular, deoarece ea constă dintr-o încercare de a reconstrui matematicile într-un limbaj nou, care să le asigure fundamentele. Cu alte cuvinte, crizele anterioare au fost depăşite prin consolidarea rezultatelor noi şi «bizare» în interiorul matematicilor; noua criză s-a ivit dintr-un examen metamatematic al rezultatelor extraordinare obţinute în epoca noastră, prin încercarea de a se consolida matematicile din afară, printr-o reconstrucţie artificială a limbajului lor (care nu este acela în care rezultatele au fost obţinute). Se vede astfel că ultima criză a fost provocată de consideraţii metamatematice şi de aceea aceste ştiinţe nu trebuie să se teamă de aceste speculaţii mai mult sau mai puţin filosofice şi prea specific lingvistice.

După ceea ce a părut un veritabil dezastru al matematicilor, determinate de apariţia acestei crize, gânditori de primă importanţă au început să considere mai îndeaproape ceea ce s-a întâmplat. Astfel s-au ridicat unele voci care au pretins că matematicile nu au nevoie deloc de un «fundament». La acest punct de vedere s-a raliat o voce deosebit de autorizată, aceea a lui Hilary Putnam (Mathematics without Foundations, «The Journal of Philosophy», LXIV, 1967).

Vizualizează articolul complet

Concluzii: Să rezumăm acum rezultatele obţinute mai sus, pe care nu am putut, bineînţeles, decât să le schiţăm, în spaţiul restrâns al acestui articol.

  1. O definiţie este o funcţie de una sau mai multe variabile şi aşa-numitul «obiect» matematic este o funcţie introdusă liber prin definiţie.
  2. Această definiţie este construită liber, prin alegerea liberă a unui caracter sau a unor combinaţii de caractere, ataşate «obiectului» introdus ca «gen», caracter (sau combinaţii de caractere) capabil de a individualiza toate elementele (sau grupe de elemente) prin determinarea completă a caracterului sau caracterelor alese.
  3. Această libertate nelimitată pe care o avem de a defini o entitate matematică se traduce prin pluralitatea definiţiilor unei aceleiaşi entităţi. Acelaşi «obiect» matematic poate fi definit prin definiţii diferite şi seria acestor definiţii poate fi privită ca nelimitată.
  4. Demonstraţia nu face decât să stabilească echivalenţa acestor diverse definiţii ale unui aceluiaşi «obiect» matematic (variabil), sau a elementelor aceluiaşi «obiect», sau încă unele relaţii între elementele aceluiaşi obiect. Această echivalenţă este posibilă tocmai pentru că definiţiile aceluiaşi «obiect» (sau «obiecte») sunt echivalente.
  5. Toate teoremele sunt definiţii. Dacă am putea inventa de la început toate caracterele (sau grupele de caractere) definitorii, teoremele ar putea fi enunţate ca definiţii, fără a mai avea nevoie de demonstraţie. Dar fiindcă validarea unui caracter sau a caracterelor definitorii, ca atare, nu poate fi efectuată printr-un examen direct (dificultatea constă mai ales în faptul că nu ne putem da seama, de la început, dacă un caracter ales poate fi individualizat sau nu pentru fiecare individ al genului caracterizat), atunci această validare se face pe cale de raţionament.

Credem că am putut da un răspuns, în cele expuse, la cele două probleme pe care Mostowski le considera ca problemele fundamentale ale matematicilor. Răspunsul nostru arată că problema logică – şi prin aceasta matematică –, a obiectului matematic, nu este o problemă filosofică. Bineînţeles, nu contestăm legitimitatea de a pune astfel de probleme filosofice. Dar a pune problemele obiectului şi raţionamentului matematic, din punct de vedere filosofic, înseamnă a crea o problemă în plus şi teorii ca răspunsuri la această problemă, care nu sunt decât «epiteorii», epifenomen intelectual depărtat, mai mult sau mai puţin, de fenomenul intelectual matematic direct şi propriu-zis. Iar acesta, după cum ni se pare, a fost explicat suficient prin analiza noastră pur logică. Actul matematic are două aspecte: aspectul creator, prin care se introduce un nou «obiect», definiţia unei funcţii; aspectul demonstrativ, prin care se stabileşte echivalenţa unor astfel de funcţii în corpul unei teorii. Astfel se găsesc împreună cele două arte: ars inveniendi si ars demonstrandi, ca două feţe ale aceluiaşi proces, care este procesul logico-matematic.

Ne-am străduit să rămânem pe terenul exclusiv al logicii. Dar natura obiectului ca şi a raţionamentului matematic, aşa cum au fost explicate mai sus, ar putea să arunce o lumină nouă asupra motivelor care i-au determinat pe Platonos şi pe Aristoteles să considere obiectele matematice ca având o situaţie specială. Într-adevăr, pentru Platonos, obiectul matematic şi mai ales figurile geometrice formează un domeniu intermediar între idei şi lucrurile sensibile. (A se vedea, de exemplu, Politeia, VII, 529.) La fel, Aristoteles contestă entităţilor matematice «autonomia» lor; ele ar fi datorate numai abstracţiei, fără a poseda o existenţă autonomă (De anima, I, 1 şi III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b şi E, 1, 1 026 a etc.). Lumea larvară a variabilelor, creată în mod «liber» de matematician, nu putea fi identificată nici cu lumea ideilor transcendente a lui Platonos, nici cu lumea esenţelor imanente a lui Aristoteles.

BIBLIOGRAFIE

  1. Aristoteles:Analiticele secunde; Metaphysica.
  2. Dumitriu, A.: Istoria logicii. Ediţia a III-a, Ed. tehnică, 1992-1998.
  3. Heyting, A.: Mathematische Grundlagenforschungen. Intuitionismus, Beweistheorie (Springer, Berlin, 1934).
  4. Fraenkel, A.; Bar-Hillel, J.: Foundations of Set Theory. North Holland Publishing Company, 1958.
  5. Putnam, H: Mathematics without Foundations. «The Journal of Philosophy», LXIV, 1, 1967.
  6. Körner, S.: On the Relevance of Post-Gödelian Mathematics to Philosophy. «Problems in the Philosophy of Mathematics», Amsterdam, 1967.
  7. Mostowski, A.: The Present Sfate of Investigation on the Foundations of Mathematics. Polska Akademia Nauk – Instytut Matematyczny, 1955.
  8. Einstein, A.: The Meaning of Relativity. Methuen, Londra, 1922.
  9. Porphyrios: Isagogé.
  10. Wittgenstein, L.: Tractatus logico-philosophicus. Ed. Kegan Paul, Londra, 1933.
  11. Russell, B.: Introduction to Mathematical Philosophy. franc., ed. Payot, Paris, 1926; Introduction to Mathematical Philosophy.
  12. Goblot, L.: Traité de logique. A. Colin, ed. a VI-a, Paris, 1937.
  13. Leibniz, G. W.:De arte combinatoria.
  14. Pascal, B.:De l’esprit géometrique.
  15. Hobbes, T.: Computatio sive logica.
  16. Poincaré, H.: Science et méthode.
  17. KANT, Imm.: Kants gesammelte Schriften, Band XVI, Berlin, Georg Reiner, 1912.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.