Revista Română de Informatică și Automatică – ICI București
ESEU DESPRE FUNDAMENTELE MODELĂRII MATEMATICE
Neculai Andrei
Editura Academiei Române, 2012
ISBN:978-973-27-2204-6
337 + XII pagini
Lucrarea prezentată Editurii Academiei Române de către Dl. Neculai Andrei tratează o problemă veşnic actuală – matematicile – şi, în contextul de azi al hiperdezvoltării tehnice, problema de maximă stringenţă – modelarea matematică.
Structura cuprinde 14 capitole. În primele nouă capitole autorul face o trecere în revistă a modului de dezvoltare a ştiinţei de la constituirea matematicii în formă «axiomatică» şi până la fundamentarea ştiinţei pe baza raţionalismului descartian. În planul gândirii, se face trecerea de la actul contemplativ, direct, la revelaţie, singurul mod admis de creştinism pentru aflarea adevărului.
În capitolul al II-lea se expune mentalitatea raţională grecească, evidenţiind exigenţa gândirii de a găsi punctul de unde încep gândirea şi existenţa, adică principiul. Se arată filiaţia filosofică prin care spiritul raţional grec a ajuns de la forma metafizică, tradiţională, la forma ştiinţifică ce constituie capitalul intelectual al omului modern. Rolul determinant în această transformare l-a avut Aristotel, care a fundamentat metafizica drept ştiinţă a adevărului.
Autorul insistă pe ideea că grecii nu au ajuns la experimentul numeric, pentru ei fiind important actul gândirii, şi nu modul în care, eventual, acest act se poate materializa în viaţa practică, grecii fiind interesaţi în primul rând în atingerea unei înţelepciuni interioare, nu de un discurs despre aceasta sau despre cunoaşterea lumii materiale. Anticii voiau să cunoască lumea prin ce are aceasta esenţial, modernii, prin ştiinţa de tip empiric, vor să cunoască lumea în materialitatea ei.
Este relevată căderea raţionalismului şi răspândirea scepticismului, apărut prin sofişti, scepticism care – arată autorul – va constitui baza îndoielii veşnice a lui Descartes.
În capitolul al treilea autorul ne arată cum a supravieţuit matematica şi cum s-a dezvoltat ştiinţa de tip matematic, preluată de arabi într-un mod propriu, după ce gândirea filosofică şi matematica au fost izgonite din Athena, intrată sub zodia creştinismului.
Capitolul al patrulea ne prezintă cultura scolastică, acel capital de idei preluat de la stoicii antici prin cele şapte arte liberale, îmbrăcate în formă teologică de Thomaso de Aquino. Bagajul matematic este preluat în totalitate din Antichitate, dogma teologică împiedicând dezvoltarea raţionamentului, problemele care ocupau minţile oamenilor fiind probleme de teoria numerelor. Pe plan filosofic, din lupta dintre realism şi nominalism a ieşit învingător nominalismul, acesta pregătind terenul pentru ştiinţa de tip matematic.
Capitolul al cincilea se ocupă cu mişcarea intelectuală a Renaşterii, posibilă datorită căderii Scolasticii decadente, redusă la câteva formule mnemotehnice de către autorităţile eclesiastice. Rolul esenţial în această revoluţie l-a avut Academia din Florenţa, susţinută de către Lorenzo de’Medici. Acum apar marile figuri enciclopedice, animate de idealul antic al cunoaşterii. Matematica, fiind riguroasă, este instrumentul principal de cunoaştere. Autorul îi trece în revistă pe marii savanţi ai epocii: da Vinci, Galilei, Bruno, Erasmus, Copernicus. Acum apare pentru prima dată conceptul de experiment legat de adevărul ştiinţific. Aceştia vor face posibilă apariţia marilor oameni de ştiinţă ai secolelor al XVII-lea şi al XVIII-lea: Leibniz şi Newton. Ei vor face «saltul intelectual», după cum spune autorul, de la ştiinţa de observaţie la elaborarea teoriilor ştiinţifice bazate pe legi.
Capitolul al şaselea face o incursiune în empirism, acesta fiind în istoria gândirii o consecinţă normală a nominalismului. Autorul detectează urmele empirismului în stoicismul lui Zenon şi în modul de a gândi al romanilor. Este evidenţiat rolul lui Bacon în fundamentarea inducţiei pe alte baze decât cele puse de Aristotel, care introdusese inducţia penetrantă.
Pe baza ideilor lui Bacon se dezvoltă empirismul englez, bine reprezentat în cartea lui N. Andrei: T. Hobbes, J. Locke, G. Berkeley, D. Hume.
În legătură cu conjecturile empirice, autorul face o succintă dar bogată prezentare a concepţiei lui Nicolaus Cusanus, în special din lucrarea acestuia, De docta ignorantia.
Capitolul al şaptelea ne prezintă noua abordare filosofică a ştiinţei, prin care Descartes ajunge la certitudinea adevărului prin cele două principii ale metodei sale: îndoiala metodică şi ideile clare şi distincte. Din scepticismul epocii, Descartes ajunge să descopere existenţa obiectivă.
Autorul face o expunere a metodei raţionaliste, Mathesis universalis, care nu este matematica, aceasta fiind numai aplicaţia metodei. Prin activitatea sa, Descartes pune pe primul plan calculul în dezvoltarea ştiinţei, prin matematizarea acesteia.
Adept al raţionalismului, Leibniz este prezentat ca o mare personalitate a secolelelor al XVI-lea şi al XVII-lea, având în vedere rezultatele activităţii sale: calculul diferenţial şi integral, proiectul unei limbi universale (Characteristica şi Alfabetul) care constituie prima aritmetizare a cunoştinţelor umane, reluată în sec. al XX-lea de Kurt Gödel în aritmetizarea sistemelor formale.
Kant apare în următorul capitol drept demolatorul ideilor înnăscute, prin punerea problemei invers: care sunt condiţiile mentale care fac posibilă cunoaşterea, factorii transcendentali fără de care fenomenele sunt ininteligibile. Răspunsul este simplu: spaţiul şi timpul. Cu acestea mintea omenească îmbracă lumea exterioară pentru a o cunoaşte.
În ceea ce priveşte problema cunoaşterii, Kant dă un răspuns negativ: nu putem avea o metafizică calchiată pe matematică; pentru el cunoaşterea nu poate trece de lumea experienţei, principiile sintetice fiind principii ale unei experienţe posibile. El rămâne remarcabil în domeniul ştiinţei prin faptul că a căutat să dea o bază certă cunoaştererii. Această necesitate au resimţit-o şi alţi gânditori, fie implicită, fie afirmată net, fie sub o formă atenuată, de a pleca de la categorii pentru a îşi fundamenta cunoaşterea.
Capitolul al nouălea conţine o trecere în revistă a diverselor concepţii filosofice şi ştiinţifice apărute de-a lungul timpului, terminând cu activitatea de cercetare ştiinţifică de tip matematic, după schema: ştiinţă de observaţie – ştiinţă a invarianţilor (legi) – control şi ajustare a datelor experimentale, această din urmă activitate modificând din nou legile, procesul continuând la nesfârşit.
Capitolul al zecelea consemnează schimbările (autorul le numeşte «metamorfoze») pe care le suferă ştiinţa ca urmare a modificării survenite în forma mentis a vremii, cu periodizările şi menţionarea structurii pe care o capătă ştiinţa în fiecare dintre aceste faze.
Legat de aceste «metamorfoze», autorul introduce noţiunea de «pierdere a inocenţei», vrând să sugereze prin aceasta că acurateţea cu care omul modern modelează fenomenele nu poate trece de o anumită limită; printr-o extindere care i se pare posibilă, N. Andrei aplică această «pierdere a inocenţei» şi sistemelor formale, destinate de data aceasta să dea seama de modul în care omul «gândeşte» prin procesele sale mentale şi nu modul în care fasonează realitatea exterioară
în simboluri.
Capitolul următor ne prezintă o perspectivă a căutărilor fundamentale ale omului din Antichitate, când idealul său era înţeleptul, până în zilele noastre, când matematica a creat din raţiune un zeu. Autorul enunţă problemele actuale de mare stringenţă care preocupă minţile oamenilor de ştiinţă, insistând pe cele trei mari liste de probleme (Hilbert, Landau, Smale), la care se adaugă şi unele dintre cele 7 probleme ale mileniului, ridicate de Clay Mathematics Institute.
Principiile şi legile fac obiectul capitolului al doisprezecelea. Se face opoziţia între ştiinţa dezvoltată în Antichitate pe principii – arche –, cunoscute în mod direct, şi ştiinţa de tip matematic, ale cărei legi şi principii sunt formulate graţie unei inducţii de tip matematic.
Se insistă pe caracterul de exactitate al legilor. Se face apoi distincţia între modelele sistemelor inginereşti şi cele economice, prin faptul că primele folosesc legi şi principii generale aflate la baza domeniului lor, pe când cele din urmă sunt irepetabile, fiind generate de ipoteze arbitrare, care au un rol mai mult de predicţie.
Caracteristica modelelor matematice este faptul că acestea sunt elaborate pe baza legilor de conservare. Totuşi, modelele suferă de deficienţele induse de neputinţa de a elabora un model complet pe baza matematicii: completitudine şi minimalitate. Se enumeră apoi principiile ştiinţei moderne, cu evidenţierea exigenţelor specifice fiecăruia dintre ele.
Se pune accentul pe faptul că la elaborarea legilor şi a teoriilor ştiinţifice se presupun ca adevărate omogenitatea spaţiului şi a timpului. Sunt prezentate teorema lui Noether şi legile de conservare, care reprezintă invarianţii lumii în care trăim şi care au la bază conceptul de simetrie sau de dualitate.
Sunt prezentate în continuare concepţiile lui Cusanus şi Descartes, apoi mecanica solidului, termodinamica (cu modele rulate pe calculator), mecanica fluidelor (şi aceasta pe modele făcute în GAMS), electromagnetismul (cu exemple), teoria elasticităţii, mecanica cuantică.
Partea de sisteme economice şi ecologice este bine structurată, cu exemple sugestive şi prezentată în detaliu pe modele.
Sistemele dinamice au o tratare principială, fără aplicaţii, dar cu enumerarea direcţiilor în care s-au dezvoltat: abordările frecvenţială, algebrică în timp, polinomială matriceal-frecvenţială şi structuralistă pe digrafuri.
După această perspectivă a evoluţiei gândirii de la simple intuiţii la concepţii complexe matematice, autorul prezintă în capitolul al treisprezecelea conceptul de modelare matematică şi, strâns legate de acesta, clasele de probleme supuse formalizării. Sunt prezentate avantajele modelului matematic faţă de cel exprimat în limbajul natural intuitiv, prin identificarea modelului intern propriu domeniului cercetat. Este indicată schema de modelare prin parcurgerea traseului descriere lingvistică (model verbal) – reprezentare algebrico-diferenţială – reprezentare internă, pasul final fiind făcut prin limbajele de modelare (GAMS, AMPL, ALLO ş.a.). Expunerea este finalizată cu exemple amplu comentate.
Capitolul final al lucrării trece în revistă încercările făcute de-a lungul timpului de a calchia gândirea pe calcul şi apoi de a rula acest calcul pe calculator. Sunt menţionate şi cele trei direcţii prin care s-a încercat fundamentarea matematicilor: logicismul, intuiţionismul şi formalismul, precum şi paradoxele apărute în teoria mulţimilor.
Informatica s-a dezvoltat în mod natural din această tendinţă de a pune activitatea umană pe calculator prin cele două tendinţe principale: analiza numerică şi teoria calculului, bazate fiind pe algoritmi de calcul.
Problema complexităţii computaţionale este susţinută cu un bogat material ilustrativ.
Vârful activităţii computaţionale este reprezentat de calculul de înaltă performanţă, punct în care converg trei activităţi majore: ştiinţa calculatoarelor, tehnica de calcul şi aplicaţiile. Acest calclul presupune concepte matematice avansate, materializate în algoritmi convergenţi foarte rapid (cel puţin pătratic) şi calculatoare cu arhitecturi paralele sau distribuite. Se atrage atenţia că subtilitatea acestui calcul nu rezidă în forţa brută a supercalculatoarelor paralele sau distribuite, ci în folosirea conceptelor rafinate care au o complexitate computaţională redusă.
În finalul capitolului, autorul face apoteoza activităţii creaţiei informatice, pe care o include într-un intelectualism de tip matematic, prin care se prelungeşte puterea de analiză a conceptelor prin mărirea puterii lor computaţionale. Entuziasmul creat de acest tip de activitate este temperat de autor, care ne avertizează că speranţa noastră de a cunoaşte este limitată numai la ameliorarea percepţiei acestor concepte matematico-informatice, realitatea lor «platonică» rămânând intangibilă.
Cartea este scrisă limpede, într-un limbaj clar şi expozitiv, cu explicări şi cu exemplificări, fapt ce presupune un bogat bagaj intelectual şi de specialitate.
Prin conţinut şi formă de prezentare, lucrarea se adresează unui mediu axat pe gândire matematică, dar şi celor interesaţi de abordări filosofice ale ştiinţei. Stilul este maiorescian şi respectă normele Editurii Academiei.
Mat. Paul Sfetcu
Institutul Naţional de Cercetare-Dezvoltare în Informatică – Bucureşti
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.