Art. 04 – Vol. 22 – Nr. 3 – 2012

DEFINIŢIA (II)

Paul Sfetcu
psfetcu@yahoo.com
Institutul Naţional de Cercetare – Dezvoltare în Informatică, ICI, Bucureşti

Rezumat: În acest articol evidenţiem faptul că definiţia în matematică nu este unică, aşa cum voia Aristoteles în definiţia prin genus proximum şi differentia specifica, prin care surprindea estenţa unui lucru, ci ea este făcută printr-o funcţie propoziţională, care lasă creaţiei intelectuale toată libertatea de mişcare.

Cuvinte cheie: definiţie, demonstraţie.

Pluralitatea definiţiei

Libertatea de alegere a caracterelor definitorii

În articolul precedent dedicat definiţiei am văzut importanţa acesteia într-o teorie matematică. Dar, în acelaşi timp, ne dăm seama că nu există o definiţie unică a definiţiei, ceea ce înseamnă că nu ştim exact cum definim. Aristoteles face din definiţie nervul ontologic al demonstraţiei silogistice.
Logicianul Louis Liard, (în lucrările Logique şi Des définitions géometriques et des definitions empiriques) care s-a ocupat în mod special de definiţiile matematice, conchide că axiomele sunt principiile comune ale unui număr indefinit de demonstraţii, iar definiţiile sunt principiile proprii ale fiecărei demonstraţii particulare.
Pentru unii dintre cei care s-au ocupat de progresul matematicilor – Hobbes şi Leibniz – am văzut că toate propoziţiile primitive sunt definiţii. Vom arăta mai departe motivul de ordin pur teoretic pentru care nu se poate să fie altfel. Întreaga problemă pivotează însă mai întâi în jurul întrebării: cum definim? Să considerăm definiţia triunghiului dreptunghic: un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept. Cei care sunt obsedaţi de specii, de genuri – fie că le concep sau nu în mod metafizic –, spun că avem aici o definiţie de tip clasic prin genus proximum (triunghi) şi diferentia specifica (unghi drept).
Acest fel de a vedea lucrurile acordă o existenţă specială triunghiului dreptunghic printre toate triunghiurile, adică înăuntrul genului triunghi şi printre speciile de triunghiuri. Triunghiul dreptunghic este depozitarul unor legi enigmatice care îl individualizează, celelalte triunghiuri fiind cu totul anonime şi neinteresante. Ceea ce nu are nimic de-a face cu realitatea. Să presupunem că luăm toate triunghiurile posibile; dacă vrem să le individualizăm prin valoarea determinată a unui unghi, vom putea identifica fiecare triunghi în felul următor:

triunghiuri cu un unghi de un grad;
triunghiuri cu un unghi de două grade;
triunghiuri cu un unghi de trei grade;
triunghiuri cu un unghi de n grade (n < 180°).

În general, să scriem triunghiul cu unul dintre unghiuri de n° în felul următor: Δ_n°, unde n poate fi un număr întreg (n < 180°), fracţionar sau chiar iraţional. Fixarea lui n printr-o particularitate, anume prin valoarea numerică a unghiului (unghi drept, adică de 90°), nu îi dă nici un fel de existenţă preeminentă printre toate triunghiurile. Aceeaşi situaţie o are orice triunghi; şi triunghiul cu un unghi de un grad, de exemplu, Δ_1°, este definit exact ca şi triunghiul dreptunghic, printr-o particularitate care îi este proprie şi care îl individualizează. Putem să obţinem o serie de teoreme geometrice specifice triunghiului cu unghiul de1°, tot aşa cum am obţinut o serie de teoreme specifice pentru triunghiul cu un unghi de 90°. Ele vor fi tot atât de interesante ca şi acelea relative la triunghiul dreptunghic.

Concluzii

Ideea că un acelaşi lucru poate fi definit în mai multe moduri i-a frapat pe unii gânditori, fără însă ca aceştia să îi atribuie vreo importanţă, deşi ea este fundamentală în explicarea întregului mecanism al demonstraţiei şi cu aceasta al edificiului matematic.
De altfel, logicianul Edmond Goblot a menţionat lucrul acesta într-un mod clar în al său Traité de logique: «Există multe definiţii reale ale unui aceluiaşi concept, toate la fel de caracteristice, toate construite cu ajutorul unui gen şi al unei diferenţe. Există atâtea definiţii câte proprietăţi reciproce are un concept. Cercul poate fi definit ca secţiunea unui cilindru sau a unui con printr-un plan perpendicular pe axă; o elipsă de excentricitate nulă; sau ca locul geometric al punctelor de unde se vede o dreaptă sub un unghi dat; şi în general, orice loc geometric care este un cerc este o definiţie a cercului».
Goblot nu a dat însă nici o importanţă acestui fapt. El afirmă că toate aceste definiţii ale unui aceluiaşi concept sunt logic dependente unele de altele, din care cauză ele pot fi aranjate – într-un singur mod sau în mai multe moduri – într-o ordine, astfel încât fiecare să fie consecinţa acelora care o precedă şi condiţia acelora care o urmează. Există astfel o definiţie iniţială sau esenţială, care este o definiţie nominală. Ce determină însă această ordine?

Vizualizează articolul complet

Goblot o spune singur: «Diferenţa dintre o teorie penibilă, laborioasă, dificilă şi o teorie simplă, clară, elegantă se datoreşte, în general, alegerii mai mult sau mai puţin fericite a definiţiei iniţiale».

Nu trebuie să intrăm în discuţia pe care o comportă afirmaţiile lui Goblot, anume că prima definiţie este o definiţie esenţială şi nominală; voi semnala numai faptul că, dacă există mai multe moduri de a aranja definiţiile, atunci diverse alte definiţii pot trece în capul teoriilor ca definiţii iniţiale, cu care ocazie ele devin definiţii esenţiale şi nominale. Aşadar, toate definiţiile unui aceluiaşi concept sunt esenţiale şi nominale. Mărturisesc că nu înţeleg prea bine ce vor să spună simultan termenii «esenţială» şi «nominală». Într-adevăr, când Goblot constată că una dintre definiţiile cercului este, de exemplu, «locul geometric al punctelor de unde se vede o dreaptă dată sub un unghi dat», el nu observă că propoziţia aceasta este o teoremă, adică o propoziţie stabilită prin demonstraţie.

Fiind dată problema: care este locul punctelor de unde se vede o dreaptă sub un unghi dat, se demonstrează – şi cei care au practicat matematicile cunosc bine acest lucru – printr-o serie de raţionamente, că acest loc geometric este un cerc.

Întrebarea care nu s-a ridicat pentru Goblot este însă cum e posibil ca o definiţie să devină o propoziţie demonstrată? Aceasta arată două lucruri: că teoremele sunt definiţii şi că natura lor nu este deosebită de natura propoziţiilor iniţiale. Vom vedea în capitolele următoare ce semnificaţie are acest fapt.

În general, o teorie pleacă de la definiţii mai simple – şi aici suntem de acord cu Goblot că alegerea definiţiilor iniţiale uşurează şi face simplă o teorie, cu o observaţie însă: numai în prima parte a a ei. După aceasta însă, lucrurile se complică şi teoria poate deveni foarte laborioasă şi penibilă. Relativitatea alegerii definiţiei iniţiale a unui concept dintr-o serie de definiţii posibile arată că, din punct de vedere teoretic, alegerea este liberă şi numai raţiuni de ordin practic sau metodologic impun alegerea unor definiţii simple. Această alegere liberă permite introducerea liberă a unui concept printr-o definiţie aleasă liber. Din aceasta libertate derivă bogăţia rezultatelor matematice.

Kant menţionează, în însemnările lui, această libertate pe care o are matematicianul de a defini când spune: «Der Mathematicus in seiner Definition sagt: sic volo sio jubeo» (Matematicianul spune în definiţia sa: aşa vreau, aşa ordon).

Să rezumăm rezultatele la care am ajuns:

O definiţie este o funcţie de una sau mai multe variabile, iar un obiect matematic este introdus liber printr-o definiţie.
Această definiţie se face în mod liber prin alegerea liberă a unui caracter sau a unei combinaţii de caractere ataşate obiectului introdus ca gen, caracter (sau combinaţii de caractere) capabil să individualizeze toate elementele (sau grupe de elemente) prin particularizarea caracterului ales (sau a grupei de caractere);
Toate teoremele sunt definiţii. Dacă am putea inventa de la început toate caracterele (sau grupul de caractere) definitorii, teoremele ar putea fi enunţate ca definiţii, fără să mai fie nevoie de demonstraţii. Deoarece validarea unui caracter definitoriu, ca atare, nu se poate face totdeauna de la început, prin examinarea lui directă, dificultatea constând din a ne putea da seama dacă acesta este capabil sau nu să fie individualizat pentru fiecare individ al genului caracterizat (sau al unor grupuri de indivizi ale aceluiaşi gen), validarea lui se face pe cale de raţionament.

Bibliografie

Dumitriu, A.: Mecanismul logic al matematicilor, Editura Academiei Române (1973); Definiţie şi existenţă, în Revue roumaine des sciensces sociales (1967).
Einstein, A.: The Meaning of Relativity, Ed. Methuen, Londra, 1922.
Goblot, E. d.: Traité de logique, Ed. A. Colin, Paris, 1917.
Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie, în Mathematische Annalen, 1902.
Hobbes, T. h.: Logica, partea I-a, II, 4.
Leibniz, G, W.: Nouveaux essays sur l’entendement humain, IV, II, 1, Amsterdam, 1765.
Liard, L.: Logique, ed. a II-a, Paris, 1888.
Porphyrios: Eisagogé, I, 3, Ed. Univers enciclopedic, Bucureşti, 2002.
Russell, B.: Introduction à la philosophie mathématique (trad. franc., Paris, 1928).
Sfetcu, P.: Definiţia (I), Revista Română de Informatică şi Automatică, vol. 22, nr. 2, 2002, pp. 49-62.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.