Art. 05 – Vol. 22 – Nr. 2 – 2012

DEFINIŢIA (I)

Paul SFETCU
psfetcu@yahoo.com
Institutul Naţional de Cercetare Dezvoltare în Informatică – ICI Bucureşti

Rezumat: În acest articol se readuc aminte condiţiile logice ale definiţiei, arătând că ignorarea acestora sau introducerea unei concepţii nominaliste au făcut ca matematica să fie plină de noţiuni care doar în aparenţă au aerul unor enunţuri riguroase.

Cuvinte cheie: definiţie, demonstraţie.

Ce este definisabil şi ce este gândibil

Când luăm contact pentru prima dată cu noţiunile matematice – fie că este vorba de aritmetică, de geometrie sau algebră – o facem prin definiţia obiectului pe care îl studiem. Prin definiţie, punem existenţa unei entităţi, pe care apoi o vom studia sub faţetele ei, adică prin proprietăţile pe care le deducem cu ajutorul demonstraţiei din definiţia iniţială şi din axiomele care stau la baza domeniului matematic respectiv.

Acest mod logic de a aborda conceptele gândirii a fost folosit pentru prima dată de Sokrates în discuţiile pe care le-a purtat cu cetăţenii Athenei în Agora, el fiind primul care a pus problema realităţii ştiinţei şi a gândirii, pe care sofiştii le desfiinţaseră.

Deci cum definim şi ce realitate au conceptele pe care noi le introducem în raţionamentele matematice? Există mai multe feluri de definiţii: nominale, reale, implicite, explicite, prin recurenţă, definiţii in use etc. Acestea pot fi găsite în lucrarea lul W. Dubislav, Die Definition (Leipzig, 1931). Vom insista aici în special asupra condiţiilor definiţiei, aşa cum le găsim menţionate în tratatele de logică tradiţională. Iată aceste condiţii:

1) Definiţia trebuie să se facă prin genus proxitmus şi prin differentia specifica.
2) Definiţia se face prin caractere esenţiale şi nu prin accidente.
3) În orice definiţie trebuie să existe posibilitatea de a substitui definisantul prin ceea ce este definit – definiens prin definiendum (aceasta este condiţia pascaliană a definiţiei).
4) Definiţia trebuie să convină întregului definit şi numai definitului – toto et soli definito.
5) O definiţie nu trebuie să fie construită idem per idem, ea nu trebuie să fie tautologică. Nu se poate defini definitul prin definit – definiendum per definiendum. O formă mai dezvoltată a definiţiei idem per idem este circulus in definiendo sau diallela: un lucru este definit printr-un altul, dar acesta din urmă este definit prin elementele celuilalt.
6) O definiţie nu trebuie să conţină o contradicţie, nici o contradictio in terminis, nici o contradictio in adjecto.

Vom spune de la bun început că aceste condiţii sunt necesare, dar nu şi suficiente pentru ca să avem într-adevăr o definiţie. Este posibil, de exemplu, ca o propoziţie prin care vrern să definim să nu fie construită idem per idem sau să nu fie o contradicţie şi totuşi să nu fie o definiţie.

Sunt două feluri de definiţii eronate care nu respectă regulile necesare (dar nu suficiente) pentru construirea unei definiţii:

Definiţiile eronate, prin care noi gândim ceva, dar acest ceva nu este specific şi propriu conceptului definit (deşi îi convine).

De exemplu, propoziţia «cercul este o curbă plană» este o definiţie eronată, ea nerespectând regula nr. (4), şi în consecinţă nu convine toto et soli definito. Ea este o propoziţie adevărată, dar ca definiţie este eronată pentru că nu identifică cercul printre celelalte curbe plane.

Definiţiile eronate prin care noi nu gândim nimic. De exemplu, definiţia idem per idem «numărul 2 este ceea ce noi gândim prin cifra 2» nu spune absolut nimic, fiind o tautologie. Prin aşa-zisa definiţie precedentă noi nu am gândit absolut nimic. Şi în acest caz propoziţia enunţată este adevărată, ea fiind identitatea: «2 = 2», dar ca definiţie ea nu spune nimic şi noi nu gândim nimic în momentul în care credem că am enunţat într-adevăr o definiţie. Acelaşi lucru se întâmplă cu definiţia «4 nu este 4»; această propoziţie este falsă, dar, dacă o considerăm ca definiţie, noi nu gândim nimic asupra naturii numărului 4.

Vizualizează articolul complet

Ne vom ocupa mai de aproape, în cele ce urmează, de a doua categorie de definiţii eronate, acelea care sunt absolut nule ca definiţii.

Pentru început, vom observa că logica simbolică a considerat inutile regulile clasice ale definiţiei. În Principia mathematica, Bertrand Russell spune că «definiţia nu este definisabilă şi nu este nici măcar un concept definit». «O definiţie, spune el, este o declaraţie că un oarecare simbol sau combinaţie de simboluri nou introduse trebuie să însemne acelaşi lucru ca şi o oarecare altă combinaţie de simboluri al cărei sens este deja cunoscut». În continuare, mai găsim şi următoarea explicaţie: «Trebuie să observăm că o definiţie nu este, strict vorbind, o parte a subiectului în care ea apare, căci o definiţie se referă în întregime la simboluri şi nu la ceea ce acestea simbolizează». Ce sunt atunci definiţiile? Pentru Russell, definiţiile nu sunt necesare, din punct de vedere teoretic, definiens putând întotdeauna fi utilizat în locul lui definiendum. «Definiţiile sunt, strict vorbind, (…) simple convenţii tipografice», spune el. Cu toate acestea, deşi din punct de vedere teoretic le găseşte «superflue», Russell crede totuşi că definiţiile aduc adeseori mai multe informaţii decât conţin propoziţiile în care ele sunt folosite.

Concluzii

Credem că am arătat, prin analiza precedentă, că trebuie neapărat să respectăm condiţiile definiţiei pentru a defini cu adevărat ceva, în consecinţă pentru a gândi ceva şi, în fine, pentru a pune ceva ca existent.

Toate definiţiile care introduc simple cuvinte, definiţiile prin abreviere, definiţiile convenţionale, definiţiile semnelor sau ale simbolurilor sunt definiţii construite prin accident şi trebuie să fie utilizate cu prudenţă.

În sistemele logico-formale, ca şi în matematici, sunt utilizate continuu astfel de definiţii. Logica simbolică, manipulând simboluri vide de orice conţinut, este, în general, obligată să privească relaţia dintre definiens şi definiendum ca o relaţie arbitrară. Sunt introduse astfel definiţiile prin accident care, dacă permit abreviaţii utile, nu exprimă în schimb nici un concept nou; nu gândim nici o idee şi nu punem nimic ca existent logic. Pentru a evita unele consecinţe ale acestor definiţii nule, trebuie să ţinem seama de condiţiile definiţiei, după cum am văzut.

În general, putem crede că s-au definit probleme care sunt complet iluzorii tocmai pentru că ele nu sunt definite. În cele câteva exemple date, am văzut că unele concepte şi probleme erau (şi sunt) inexistente. Ceea ce este frapant este că aceste probleme sunt dintre cele mai dificile în filosofia şi logica epocii noastre. Ar părea astfel că cele mai mari dificultăţi de care se izbeşte inteligenţa umană nu ar consta în problemele insolubile, ci în probleme inexistente. Este oare acesta cazul tuturor marilor dificultăţi? Wittgenstein a afirmat în general (Tractatus, prop. 4.003); «Und es ist nicht verwunderlich dass die tiefsten Probeme eigentlich keine Probleme sind» (Şi nu este de mirare că problemele cele mai profunde nu sunt în realitate probleme).

Bibliografie

Aristoteles: De interpretatione; Analytica priora.
Bain, A..: Logique déductive et inductive (Paris, 1894).
Behmann, H.: Zu den Widersprüchen der Logik und Mengenlehre (1931).
Bochvar, D. A.: Asupra unui calcul trivalent şi aplicaţiile lui in analiza paradoxelor calculului functional extins clasic (1939).
Bourbaki: Théorie des ensembles (Paris, 1954).
Carnap, R.: Logical Syntax of Language (New York, 1937).
Denjoy, A.: L’enumération fransfinie (vol. IV, Notes sur les sujets controversés).
Dubislav, W.: Die Definition (Leipzig, 1931).
Dumitriu, A.: Soluţia paradoxelor logico-matematice (1966); Istoria logicii (vol. IV).
Fraenkel, A.: Abstract Set Theory (Amsterdam, 1961).
Russell, B.: Principia mathematica (vol. I, 1910); Introduction to Mathematical Philosophy (trad. fr., Paris 1928).
Sierpinski, W.: Cardinal and Ordinal Numbers (Varşovia, 1958)
Van der Waerden, B. L.: Moderne Algebra

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.